Question

如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA1＝AB＝2，BC＝3.

(1)求证：AB1∥平面BC1D；

(2)求四棱锥B－AA1C1D的体积．

 

Answer 1

（1）见解析（2）3

【解析】(1)证明：如图，连接B1C，设B1C与BC1相交于点O，连接OD，

∵四边形BCC1B1是平行四边形，

∴点O为B1C的中点．

∵D为AC的中点，∴OD为△AB1C的中位线，

∴OD∥AB1，

∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，∴AB1∥平面BC1D.

(2)∵AA1⊥平面ABC，AA1?平面AA1C1C，

∴平面ABC⊥平面AA1C1C，

作BE⊥AC，垂足为E，则BE⊥平面AA1C1C.

在Rt△ABC中，AC＝，BE＝＝，

∴四棱锥B－AA1C1D的体积V＝× (A1C1＋AD)·AA1·BE＝××2×＝3.