Question

已知集合A={x||x-a|＜ax，a＞0}，若f（x）=sinπx-cosπx在A上是增函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析：通过解绝对值不等式求出集合A，利用差角公式化简f（x），利用整体角处理的方法求出f（x）的递增区间，据题意得到只有(

a

1+a

，

a

1-a

)⊆[-

1

4

，

3

4

]，列出不等式组求出a的范围．

解答：解：由|x-a|＜ax得-ax＜x-a＜ax，所以

(1+a)x＞a (1-a)x＜a

．
当0＜a＜1时，A=(

a

1+a

，

a

1-a

)；
当a≥1时，A=(

a

1+a

，+∞)，
又f(x)=sinπx-cosπx=

2

sin(πx-

π

4

)的单调递增区间为[2k-

1

4

，2k+

3

4

]，(k∈Z)，
显然，当a≥1时，f（x）在A上不可能是增函数，
因此，当0＜a＜1，要使f（x）在A=(

a

1+a

，

a

1-a

)上是增函数，只有(

a

1+a

，

a

1-a

)⊆[-

1

4

，

3

4

]，
所以

0＜a＜1 a 1-a ≤ 3 4

，解得0＜a≤

3

7

，
故a的范围为0＜a≤

3

7

．

点评：解决三角函数的性质问题，应该先化简三角函数为一个角一个函数形式，然后利用整体角处理的方法来解决．