Question

6．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n•a_n+1=2ⁿ（n∈N^*），求数列{a_n}的前n项和．

Answer 1

分析 求得数列的前几项，可得数列{a_n}的奇数项和偶数项分别构成以2为公比的等比数列，然后求出等比数列的通项公式，以及数列{a_n}的前n项和，注意分n为奇数和偶数，运用等比数列的求和公式．

解答 解：∵a₁=2，a_n•a_n+1=2ⁿ，
可得a₁•a₂=2，a₂•a₃=4，a₃•a₄=8，a₄•a₅=16，a₅•a₆=32，…，
即有a₂=1，a₃=4，a₄=2，a₅=8，a₆=4，…，
可得数列{a_n}的奇数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
偶数项构成以1为首项，以2为公比的等比数列，
则a_2n-1=2ⁿ；a_2n=2^n-1；
设数列{a_n}的前n项和为S_n，
当n为偶数时，S_n=（2+4+…+${2}^{\frac{n}{2}}$）+（1+2+…+${2}^{\frac{n}{2}-1}$）
=$\frac{2（1-{2}^{\frac{n}{2}}）}{1-2}$+$\frac{1-{2}^{\frac{n}{2}}}{1-2}$=3•${2}^{\frac{n}{2}}$-3；
当n为奇数时，S_n=S_n-1+a_n=3•${2}^{\frac{n-1}{2}}$-3+${2}^{\frac{n+1}{2}}$=5•${2}^{\frac{n-1}{2}}$-3．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查分类讨论的思想方法，是中档题．