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已知各项均为正数的数列{an}满足an+12=2an2+anan+1,a2+a4=2a3+4,其中n∈N*
(Ⅰ)求数{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数{bn}的前n项和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,试比较的大小,并加以证明.
【答案】分析:(Ⅰ)由an+12=2an2+anan+1,移项分角因式得(an+1+an)(2an-an+1)=0,得2an=an+1,得出数列{an}是公比为2的等比数列,由a2+a4=2a3+4得a1=2,
用等比数列的通项公式得出数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得bn=an2=22n=4n,得数列{bn}是首项为4,公比是4的等比数列,由等比数列的前n项和求出Tn,进一步表示出,两者作差,不能判号的那部分用数学归纳法来证:第一步,n=1时,不等式成立,第二步,假设n=k时,结论成立,下面证明n=k+1时也成立.
解答:解:(Ⅰ)因为an+12=2an2+anan+1,即(an+1+an)(2an-an+1)=0
又an>0,所以有2an-an+1=0,所以2an=an+1
所以数列{an}是公比为2的等比数列(2分)
由a2+a4=2a3+4得2a1+8a1=8a1+4,解得a1=2
故数列{an}的通项公式为an=2n(n∈N*)(4分)
(Ⅱ)因bn=an2=22n=4n,所以b1=4,=4
即数列{bn}是首项为4,公比是4的等比数列
所以Tn=(4n-1)(6分)
==1+

=
猜想:7•4n-1>3n+1(8分)
①当n=1时,7•4=7>3×1+1=4,上面不等式显然成立;
②假设当n=k时,不等式7•4k-1>3k+1成立(9分)
当n=k+1时,
7×4k=4×7×4k-1>4(3k+1)=12k+4>3k+4=3(k+1)+1
综上①②对任意的n∈N+均有7•4n-1>3n+1(11分)
又4n-1>0,4n-1>0

所以对任意的n∈N+均有(12分)
点评:本题难点之一是求数{an}的通项公式时,要把题干中的等式变形得到相邻两项的关系;难点之二在于要计算出两个复杂的式子,在学生的计算能力越来越弱的情况下,这个实属不易;难点之三在于作差比较大小,得出的结果不能判别符号,不少学生在此会放弃;难点之四在于要想到用数学归纳法来证明差中的一部分.
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(Ⅰ)求数{an}的通项公式;
(Ⅱ)设数{bn}的前n项和Tn,令bn=an2,其中n∈N*,试比较
Tn+1+12
4Tn
2log2bn+1+2
2log2bn-1
的大小,并加以证明.

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Tn+1+12
4Tn
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