Question

（1）设0＜α＜π，π＜β＜2π，若对任意的x∈R，都有关于x的等式cos（x+α）+sin（x+β）+

2

cosx=0恒成立，试求α，β的值；
（2）在△ABC中，三边a，b，c所对的角依次为A，B，C，且2cos²C+

3

sin2C=3，c=1，S_△ABC=

3

2

，且a＞b，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）把已知的等式左边的第一项利用两角和与差的余弦函数公式化简，第二项利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后，得出等式恒成立时满足的条件，并表示出sinβ和cosβ，根据同角三角函数间的平方关系sin²β+cos²β=1，可求出cosα的值，根据α的范围，利用特殊角的三角函数值求出α的度数，进而由sinα的值得到cosβ的值，再根据β的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出β的度数；
（2）把2cos²C+

3

sin2C=3的左边第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后再利用特殊角的三角函数值及两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，利用特殊角的三角函数值求出C的度数，进而得到sinC的值，由三角形的面积公式S=

1

2

absinC，由面积S及sinC的值，求出ab的值，利用余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC，利用完全平方公式变形后，将c，cosC及ab的值代入，开方得到a+b的值，由ab的值及a+b的值联立，再由a大于b可求出a与b的值．

解答：解：（1）cos（x+α）+sin（x+β）+

2

cosx
=cosxcosα-sinxsinα+sinxcosβ+cosxsinβ+

2

cosx
=（cosα+sinβ+

2

）cosx+（cosβ-sinα）sinx=0，
得到此等式恒成立的充要条件是：

cosα+sinβ+ 2 =0 cosβ-sinα=0

，即

sinβ=-cosα- 2 cosβ=sinα

，
∵sin²β+cos²β=1，∴（-cosα-

2

）²+（sinα）²=1，即cosα=-

2

2

，
又0＜α＜π，可得α=

3π

4

，
∴cosβ=sinα=

2

2

，
而π＜β＜2π，可得：β=

7π

4

；
（2）∵2cos²C+

3

sin2C=1+cos2C+

3

sin2C=2sin（2C+

π

6

）+1=3，
∴sin（2C+

π

6

）=1，即2C+

π

6

=

π

2

，解得C=

π

6

，
由S_△ABC=

1

2

absinC=

3

2

，可得ab=2

3

①，又c=1，
根据余弦定理得：1=c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-4

3

-6，
即（a+b）²=4

3

+7=（2+

3

）²，
解得a+b=2+

3

②，又a＞b
联立①②解得：a=2，b=

3

．

点评：此题考查了两角和与差的正弦、余弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，等式恒成立时满足的条件，同角三角函数间的基本关系，三角形的面积公式，以及余弦定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．