Question

（2013•广东）设

a

是已知的平面向量且

a

≠

0

，关于向量

a

的分解，有如下四个命题：
①给定向量

b

，总存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

；
②给定向量

b

和

c

，总存在实数λ和μ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
③给定单位向量

b

和正数μ，总存在单位向量

c

和实数λ，使

a

=λ

b

+μ

c

；
④给定正数λ和μ，总存在单位向量

b

和单位向量

c

，使

a

=λ

b

+μ

c

；
上述命题中的向量

b

，

c

和

a

在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：选项①由向量加减的几何意义可得；选项②③均可由平面向量基本定理判断其正确性；选项④λ和μ为正数，这就使得向量

a

不一定能用两个单位向量的组合表示出来．

解答：解：选项①，给定向量

a

和

b

，只需求得其向量差

a

-

b

即为所求的向量

c

，
故总存在向量

c

，使

a

=

b

+

c

，故①正确；
选项②，当向量

b

，

c

和

a

在同一平面内且两两不共线时，向量

b

，

c

可作基底，
由平面向量基本定理可知结论成立，故可知②正确；
选项③，由题意必有λ

b

和μ

c

表示不共线且长度不定的向量，
由于μ为正数，故λ

b

+μ

c

不能把向量任意

a

表示出来，故③错误；
选项④，因为λ和μ为正数，所以λ

b

和μ

c

代表与原向量同向的且有固定长度的向量，
这就使得向量

a

不一定能用两个单位向量的组合表示出来，
故不一定能使

a

=λ

b

+μ

c

成立，故④错误．
故选B

点评：本题考查命题真假的判断与应用，涉及平面向量基本定理及其意义，属基础题．