Question

5．如图，正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD中，E为AB中点，F为CC₁的中点．
（1）求异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．
（2）求直线BB₁与平面A₁C₁B所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）设正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱长为2，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A₁C与EF所成角的余弦值．
（2）求出平面A₁C₁B的法向量和$\overrightarrow{B{B}_{1}}$，利用向量法能求出直线BB₁与平面A₁C₁B所成角的正弦值．

解答 解：（1）设正方体A₁B₁C₁D₁-ABCD的棱长为2，
以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵E为AB中点，F为CC₁的中点，
∴A₁（2，0，2），C（0，2，0），E（2，1，0），F（0，2，1），
$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（-2，2，-2），$\overrightarrow{EF}$=（-2，1，1），
设异面直线A₁C与EF所成角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}$，$\overrightarrow{EF}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{C}_{1}}•\overrightarrow{EF}}{|\overrightarrow{A{C}_{1}}|•|\overrightarrow{EF}|}$|=|$\frac{4}{\sqrt{12}•\sqrt{6}}$|=$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
∴异面直线A₁C与EF所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$．
（2）B（2，2，0），B₁（2，2，2），A₁（2，0，2），C₁（0，2，2），
$\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{{A}_{1}B}$=（0，2，-2），$\overrightarrow{B{B}_{1}}$=（0，0，2），
设平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}{C}_{1}}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{A}_{1}B}=2y-2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1），
设直线BB₁与平面A₁C₁B所成角为θ，
则sinθ=|cos＜$\overrightarrow{B{B}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{B{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{B{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2}{2\sqrt{3}}$|=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴直线BB₁与平面A₁C₁B所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线面角的正弦值的求法，是中档题，解题时要注意向量法的合理运用．