Question

已知

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)，函数f(x)=

a

•

b

-

1

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边分别a，b，c且c=3，f（C）=0，若sin（A+C）=2sinA，求a，b的值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式，结合二倍角公式，辅助角公式，化简函数，即可求函数f（x）的最大值和最小正周期；
（2）先求C，再根据sin（A+C）=2sinA，求A，可得三角形为直角三角形，从而可得结论．

解答：解：（1）∵

a

=(sinx，-cosx)，

b

=(

3

cosx，cosx)
∴f(x)=

a

•

b

-

1

2

=

3

sinxcosx-cos2x-

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x-1=sin（2x-

π

6

）-1
∴sin（2x-

π

6

）=1时，函数f（x）的最大值为0
函数的最小正周期为T=

2π

2

=π；
（2）∵f（C）=0，∴sin（2C-

π

6

）-1=0，∴C=

π

3

∵sin（A+C）=2sinA，∴sin（A+

π

3

）=2sinA，∴tanA=

3

3

，∴A=

π

6

∴B=

π

2

∵c=3，
∴a=3tan

π

6

=

3

，b=2

3

．

点评：本题考查向量的数量积运算，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．