Question

15．在平面直角坐标系中xOy中，点A，点B分别为x轴，y轴上的两个动点，点F（1，0）为定点，B为线段MA的中点，且$\overrightarrow{BA}$⊥$\overrightarrow{BF}$．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设点P（-1，m），过点F的直线1交轨迹C于G、K两点，记PG，PF，PK的斜率分别为k₁，k₂，k₃，求证：k₁，k₂，k₃成等差数列．

Answer 1

分析 （1）设A（a，0），B（0，b），M（x，y），点F（1，0）为定点，B为线段MA的中点，且$\overrightarrow{BA}$⊥$\overrightarrow{BF}$．由此得到a=-b²，x=-a，y=2b，由此能求出动点M的轨迹C的方程．
（2）当直线的斜率不存在时，则F（1，0），G（1，2），K（1，-2），推导出k₁，k₂，k₃成等差数列，当直线的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-1），由此能证明k₁，k₂，k₃成等差数列．

解答 解：（1）∵在平面直角坐标系中xOy中，点A，点B分别为x轴，y轴上的两个动点，
∴设A（a，0），B（0，b），M（x，y），
∵点F（1，0）为定点，B为线段MA的中点，且$\overrightarrow{BA}$⊥$\overrightarrow{BF}$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x+a}{2}=0}\\{\frac{y}{2}=b}\end{array}\right.$，解得x=-a，y=2b，∴M（-a，2b），
$\overrightarrow{BA}$=（a，-b），$\overrightarrow{BF}$=（1，-b），
∴$\overrightarrow{BA}•\overrightarrow{BF}$=a+b²=0，解得a=-b²，
∵x=-a，y=2b，∴y²=4x．
（2）证明：当直线的斜率不存在时，则F（1，0），G（1，2），K（1，-2），
所以${k}_{1}=\frac{2-m}{2}$，${k}_{2}=-\frac{m}{2}$，${k}_{3}=\frac{-2-m}{2}$，
则k₁+k₃=2k₂，∴k₁，k₂，k₃成等差数列
当直线的斜率存在时，设为k，则直线的方程为y=k（x-1），
G（x₁，y₁），K（x₂，y₂），
则k₁=$\frac{{y}_{1}-m}{{x}_{1}+1}$=$\frac{k（{x}_{1}-1）-m}{{x}_{1}+1}$=k-$\frac{2k+m}{{x}_{1}+1}$，
同理可得：${k}_{2}=k-\frac{2k+m}{{x}_{2}+1}$，
∴k₁+k₂=2k-（2k+m）（$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$）
=2k-（2k+m）-$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{1}+{x}_{2}+1}$，
由方程组y=$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，消去y，并整理得：k²x²-2（k²+2）x+k²=0，
∴x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{2（{k}^{2}+2）}{{k}^{2}}$，
则k₁+k₃=2k-（2k+m）×1=-m，
又k₂=-$\frac{m}{2}$，∴k₁+k₃=2k₂，
综上所述：k₁，k₂，k₃成等差数列．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查三条直线的斜率成等差数列的证明，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、整体思想，是中档题．