Question

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)．
（1）求证：数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）记数列{a_n}的前n项和S_n，求使得S_n＞21-2n成立的最小整数n．

Answer 1

分析：（1）由a_n+2+2a_n-3a_n+1=0，得a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），数列{a_n+1-a_n}就以a₂-a₁=3不首项，公比为2的等比数列，由此能够求出数列{a_n}的通项公式．
（2）利用分组求和法得S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，由眦能求出使得S_n＞21-2n成立的最小整数．

解答：（1）证明：a1=1，a2=4，an+2+2an=3an+1(n∈N*)
∴a_n+2-a_n+1=2（a_n+1-a_n），a₂-a₁=3
∴数列{a_n+1-a_n}是以3为首项，公比为2的等比数列，
∴a_n+1-a_n=3•2^n-1（3分）
∴n≥2时，
a_n-a_n-1=3•2^n-2，
an-1-an-2=3•2n-3
…
a₃-a₂=3•2，
a₂-a₁=3，
以上n-1个式子累加得a_n-a₁=3•2^n-2+3•2^n-3+…+3•2+3=3（2^n-1-1）
∴a_n=3•2^n-1-2
当n=1时，a1=3•20-2=1也满足
从而可得an=3•2n-1-2（6分）
（2）解：由（1）利用分组求和法得
S_n=（3•2⁰-2）+（3•2¹-2）+…（3•2^n-1-2）
=3（2⁰+2¹+…+2^n-1）-2n
=3×

1-2n

1-2

-2n
=3（2ⁿ-1）-2n（9分）
S_n=3（2ⁿ-1）-2n＞21-2n，
得3•2ⁿ＞24，即2ⁿ＞8=2³，
∴n＞3
∴使得S_n＞21-2n成立的最小整数4．（12分）

点评：本题主要考查了利用利用数列的递推公式构造等比数列求解数列的通项公式，累加法的应用是求解通项的关键，分组求和及等比数列的求和公式的应用是解答（2）的关键