Question

2．已知$\frac{π}{2}$＜α＜π，-π＜β＜0，tanα=-$\frac{1}{3}$，tanβ=-$\frac{1}{7}$，求2α+β．

Answer 1

分析 由已知利用两角和的正切函数公式可求tan2α，即可求得tan（2α+β）的值，由$\frac{π}{2}$＜α＜π，π＜2α＜2π，tan2α=-$\frac{3}{4}$，可得范围$\frac{3π}{2}$＜2α＜2π，由-π＜β＜0，tanβ=-$\frac{1}{7}$，可得：$-\frac{π}{2}$＜β＜0，从而确定范围π＜2α+β＜2π，即可得解2α+β的值．

解答 解：∵tanα=-$\frac{1}{3}$，
∴tan2α=$\frac{2tanα}{1-ta{n}^{2}α}$=-$\frac{3}{4}$，
∵tanβ=-$\frac{1}{7}$，
∴tan（2α+β）=$\frac{tan2α+tanβ}{1-tan2αtanβ}$=$\frac{-\frac{3}{4}-\frac{1}{7}}{1-（-\frac{3}{4}）×（-\frac{1}{7}）}$=-1，
∵$\frac{π}{2}$＜α＜π，π＜2α＜2π，tan2α=-$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{3π}{2}$＜2α＜2π，
∵-π＜β＜0，tanβ=-$\frac{1}{7}$，可得：$-\frac{π}{2}$＜β＜0，
∴π＜2α+β＜2π，
∴2α+β=$\frac{7π}{4}$．

点评 本题主要考查了两角和的正切函数公式的应用，确定所求角的范围，利用特殊角的三角函数值求解是关键，属于基础题．