Question

如图，O为坐标原点，直线l在x轴和y轴上的截距分别是a和b（a＞0，b≠0），且交抛物线y²=2px（p＞0）于M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）两点．
（1）写出直线l的截距式方程；
（2）证明：+=；
（3）当a=2p时，求∠MON的大小．

Answer 1

（1）解：直线l的截距式方程为+=1．①
（2）证明：由①及y²=2px消去x可得by²+2pay-2pab=0．②
点M、N的纵坐标y₁、y₂为②的两个根，故y₁+y₂=，y₁y₂=-2pa．
所以+===．
（3）解：设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，
则k₁=，k₂=．
当a=2p时，由（2）知，y₁y₂=-2pa=-4p²，
由y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，相乘得（y₁y₂）²=4p²x₁x₂，
x₁x₂===4p²，
因此k₁k₂===-1．
所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
分析：（1）根据直线的截距式方程易知直线l的方程为+=1．
（2）欲证+=，即求的值，为此只需求直线l与抛物线y²=2px交点的纵坐标．由根与系数的关系易得y₁+y₂、y₁y₂的值，进而证得+=．
（3）设直线OM、ON的斜率分别为k₁、k₂，则k₁=，k₂=．因此k₁k₂===-1，所以OM⊥ON，即∠MON=90°．
点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要根据实际情况，注意培养计算能力，把握公式的灵活运用，仔细审题，谨慎作答，避免不必要的错误．