Question

（2013•四川）设函数f(x)=

ex+x-a

（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则a的取值范围是（　　）

A．[1，e]

B．[e^-1-1，1]

C．[1，e+1]

D．[e^-1-1，e+1]

Answer 1

分析：考查题设中的条件，函数f（f（y₀））的解析式不易得出，直接求最值有困难，考察四个选项，发现有两个特值区分开了四个选项，0出现在了B，D两个选项的范围中，e+1出现在了C，D两个选项所给的范围中，故可通过验证参数为0与e+1时是否符合题意判断出正确选项

解答：解：曲线y=sinx上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，则y₀∈[-1，1]
考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项
当a=0时，f(x)=

ex+x

，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y₀∈[0，1]时f（f（y₀））=y₀是否成立
由于f(x)=

ex+x

是一个增函数，可得出f（y₀）≥f（0）=1，而f（1）=

e+1

＞1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确
当a=e+1时，f(x)=

ex+x-e-1

此函数是一个增函数，f(1)=

e1+1-e-1

=0，而f（0）没有意义，故a=e+1不合题意，故C，D两个选项不正确
综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确
故选A

点评：本题是一个函数综合题，解题的关键与切入点是观察出四个选项中同与不同点，判断出参数0与e+1是两个特殊值，结合排除法做题的技巧及函数的性质判断出正确选项，本题考查了转化的思想，观察探究的能力，属于考查能力的综合题，易因为找不到入手处致使无法解答失分，易错