Question

【题目】以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C1的极坐标方程为ρ=2sinθ，正方形ABCD的顶点都在C1上，且依次按逆时针方向排列，点A的极坐标为（ ， ）．
（1）求点C的直角坐标；
（2）若点P在曲线C2：x2+y2=4上运动，求|PB|2+|PC|2的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵点A的极坐标为（ ， ），

∴点A的直角坐标是（1，1），

由A，C关于y轴对称，则C（﹣1，1）

（2）解：易得B（0，2），C（﹣1，1），

曲线C1：ρ=2sinθ的直角坐标方程是：x2+（y﹣1）2=1，

设P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，

则|PB|2+|PC|2

=x2+（y﹣2）2+（x+1）2+（y﹣1）2

=2x2+2y2﹣6y+2x+6

=14+2（x﹣3y）

=14+2（2cosθ﹣6sinθ）

=14+4（cosθ﹣3sinθ）

=14+4 cos（θ+φ），

故|PB|2+|PC|2∈[14﹣4 ，14+4 ]

【解析】（1）求出A的直角坐标，根据A，C关于y轴对称，求出C的坐标即可；（2）设P（x，y），x=2cosθ，y=2sinθ，求出|PB|2+|PC|2的解析式，根据三角函数的性质求出其范围即可．