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14.已知点P1(a1,b1),P(a2,b2),…Pn(an,bn)(n∈N*)在函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的图象上.
(1)若数列{bn}是等差数列,求证:数列{an}是等比数列;
(2)若数列{an}的前n项和Sn=1-2-n,过点Pn,Pn+1的直线与两坐标轴所围图形的面积为cn,求最小的实数t,使得对任意的n∈N*,cn≤t恒成立.

分析 (1)设等差数列{bn}的公差为d,则Pn(an,bn)(n∈N*)在函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的图象上.${b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$,可得an=$(\frac{1}{2})^{{b}_{n}}$.计算$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$为常数即可得出.
(2)由Sn=1-2-n,可得${a}_{1}=1-{2}^{-1}$=$\frac{1}{2}$.n≥2时,an=Sn-Sn-1=$(\frac{1}{2})^{n}$.可得bn=n.由Pn$((\frac{1}{2})^{n},n)$,Pn+1$((\frac{1}{2})^{n+1},n+1)$.过点Pn,Pn+1的直线方程为:$\frac{y-n}{(n+1)-n}$=$\frac{x-\frac{1}{{2}^{n}}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}}$,可得:An$(\frac{n+2}{{2}^{n+1}},0)$,Bn(0,n+2).${c}_{n}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|$.判定数列{cn}单调性即可得出.

解答 (1)证明:设等差数列{bn}的公差为d,则Pn(an,bn)(n∈N*)在函数y=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x的图象上.
${b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$,∴an=$(\frac{1}{2})^{{b}_{n}}$.
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$(\frac{1}{2})^{{b}_{n+1}-{b}_{n}}$=$(\frac{1}{2})^{d}$对n∈N*恒成立,
得到数列{an}是等比数列.
(2)解:由Sn=1-2-n,可得${a}_{1}=1-{2}^{-1}$=$\frac{1}{2}$.n≥2时,an=Sn-Sn-1=1-2-n-(1-2-(n-1))=$(\frac{1}{2})^{n}$.
${b}_{n}=lo{g}_{\frac{1}{2}}{a}_{n}$=$lo{g}_{\frac{1}{2}}(\frac{1}{2})^{n}$=n,
∴Pn$((\frac{1}{2})^{n},n)$,Pn+1$((\frac{1}{2})^{n+1},n+1)$.过点Pn,Pn+1的直线方程为:$\frac{y-n}{(n+1)-n}$=$\frac{x-\frac{1}{{2}^{n}}}{\frac{1}{{2}^{n+1}}-\frac{1}{{2}^{n}}}$,化为:y=n-2(2nx-1).
可得:An$(\frac{n+2}{{2}^{n+1}},0)$,Bn(0,n+2).${c}_{n}=\frac{1}{2}|OA|•|OB|$=$\frac{(n+2)^{2}}{{2}^{n+2}}$.
由cn-cn+1=$\frac{(n+2)^{2}}{{2}^{n+2}}-\frac{(n+3)^{2}}{{2}^{n+3}}$=$\frac{{n}^{2}+2n-1}{{2}^{n+2}}$>0.∴数列{cn}单调递减,
使得对任意的n∈N*,cn≤t恒成立,则t≥c1=$\frac{9}{8}$.
∴t的最小值为$\frac{9}{8}$.

点评 本题考查了数列递推关系、直线方程、数列的单调性、三角形面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于难题.

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