Question

18．已知函数f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+c
（1）当c=1时，求y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）若当x∈[-1，2]，不等式f（x）＜c²恒成立，求c的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把c=1代入函数解析式，求出原函数的导函数，得到f′（0），然后由直线方程的点斜式得答案；
（2）求出函数f（x）在x∈[-1，2]上的最大值，由最大值小于c²求得使不等式f（x）＜c²恒成立的c的取值范围．

解答 解：（1）当c=1时，f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+1，
则f′（x）=3x²-x-2，
∴在（0，1）处的切线斜率为f′（0）=-2，
故切线方程是：y-1=-2（x-0），即2x+y-1=0；
（2）f′（x）=3x²-x-2=（x-1）（3x+2），
∴当x∈（-∞，-$\frac{2}{3}$），（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x∈（-$\frac{2}{3}，1$）时，f′（x）＜0，
∴当x=-$\frac{2}{3}$时，f（x）有极大值$\frac{22}{27}+c$，
又f（2）=2+c$＞\frac{22}{27}+c$，
∴当x∈[-1，2]时，f（x）的最大值为f（2）=2+c，
∵对于x∈[-1，2]，f（x）＜c²恒成立，
∴2+c＜c²，解得c＜-1或c＞2．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求函数的最值，训练了恒成立问题的解决方法，是中档题．