Question

已知函数f（x）=ln（x+a），g（x）=

1

6

x³+b，直线l：y=x与y=f（x）相切，
（1）求a的值
（2）若方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个解x₁，x₂求b的取值范围，并比较x₁x₂+1与x₁+x₂的大小．（3）设n≥2时，n∈N^*，求证：

ln2

2!

+

ln3

3!

+…+

lnn

n!

＜1．

Answer 1

分析：（1）考查导数的几何意义，方程思想解决
（2）考查构建函数，利用导数求函数范围，利用图象数形结合列式求解
（3）考查利用导数证明不等式，构建函数能力

解答：解：（1）设切（x₀，y₀），y₀=x₀，f′(x0)=

1

x+a

，k= f′(x0)  =

1

x0+a

=1
∴x₀+a=1，且y₀=ln（x₀+a）=0，∴x₀=0，a=1（3分）
（2）ln（x+a）=

1

6

x3 +b，得

1

6

x3-ln(x+1)+b=0
令h（x）=

1

6

x3-ln(x+1)+b，h′(x)=

x2

2

-

1

x+1

=

x3+x2-2

2(x+1)

=

(x-1)(x2+2x+2)

2(x+1)

在（0，1）上h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）单调减
在（1，+∞）上，h′（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）单调增
∴0＜b＜-

1

6

+ln2，若h（x）图在（0，+∞）内x轴有两个不同的交点，则

h(0)=b＞0 h(1)= 1 6 +b-ln2＜0

，此时h（3）=

9

2

-2ln2+b＞0
所b的范围为0＜b＜-

1

6

+ln2．（8分）
由上知，方程f（x）=g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个x₁、x₂，满足0＜x₁＜1，x₂＞1，
∴x₁x₂+1-（x₁+x₂）=（1-x₁）（1-x₂）＜0
∴x₁x₂+1＜（x₁+x₂）
（3）求导数可证f（x）≤x，即ln（x+1）≤x（10分）
故n≥2，n∈N^*时，lnn＜n-1
∴

lnn

n!

＜

n-1

n!

=

1

(n-1)!

-

1

n!

（12分）
∴

ln2

2!

+

ln3

3!

+…+

lnn

n!

＜(1-

1

2!

) +(

1

2!

-

1

3!

) +…+ (

1

(n-1)！

-

1

n!

)=1-

1

n!

＜1（13分）

点评：本题考查导数的综合应用，对学生的能力要求较大，属于难题