Question

已知p：|x-4|≤6，q：x²-2x+（1-m）（1+m）≤0（m＞0），
（1）当m=1时，求使得p∨q为真的x的取值范围；
（2）若?p是?q的必要不充分条件，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）分别求出命题p、q为真命题时x的范围，利用复合命题真值表判断p∨q为真，则p、q至少一个为真，求满足条件的x范围的并集；
（2）根据逆否命题与原命题为等价命题，可得q是p的必要不充分条件，即满足命题q为真的x的集合是满足命题q为真的x的集合的子集，求出m满足的条件．

解答：解：（1）∵|x-4|≤6⇒-2≤x≤10．
∴命题p为真命题时，2≤x≤10；
当m=1时，不等式x²-2x≤0⇒0≤x≤2．
∴命题q为真命题时，0≤x≤2，
由复合命题真值表得，p∨q为真，p、q至少一个为真，
∴x的取值范围是0≤x≤10．
（2）若?p是?q的必要不充分条件，则q是p的必要不充分条件，
又x²-2x+（1-m）（1+m）≤0（m＞0）⇒1-m≤x≤1+m，
∴m满足

1+m≥10 1-m≤0

⇒m≥9，
故实数m的取值范围m≥9．

点评：本题考查了复合命题的真假判定，考查了充分不必要条件及四种命题的真假关系，利用逆否命题与原命题同真同假，找出集合关系是解答本题的关键．