Question

8．若函数f（x）=|sin（ωx+$\frac{π}{3}$）|（ω＞1）在区间[π，$\frac{5}{4}$π]上单调递减，则实数ω的取值范围是[$\frac{7}{6}$，$\frac{4}{3}$]．

Answer 1

分析 由题意求得ω≤2，区间[π，$\frac{5}{4}π$]内的x值满足 kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤kπ+π，k∈z，求得k+$\frac{1}{6}$≤ω≤$\frac{4}{5}$（k+$\frac{2}{3}$），k∈z，再给k取值，进一步确定ω的范围．

解答 解：∵函数f（x）=|sin（ωx+$\frac{π}{3}$）|（ω＞0）在[π，$\frac{5π}{4}$π]上单调递减，
∴T=$\frac{π}{ω}$≥$\frac{π}{2}$，即ω≤2．
∵ω＞0，根据函数y=|sinx|的周期为π，减区间为[kπ+$\frac{π}{2}$，kπ+π]，k∈z，
由题意可得区间[π，$\frac{5}{4}π$]内的x值满足 kπ+$\frac{π}{2}$≤ωx+$\frac{π}{3}$≤kπ+π，k∈z，
即ω•π+$\frac{π}{3}$≥kπ+$\frac{π}{2}$，且ω•$\frac{5π}{4}$+$\frac{π}{3}$≤kπ+π，k∈z．
解得k+$\frac{1}{6}$≤ω≤$\frac{4}{5}$（k+$\frac{2}{3}$），k∈z．
求得：当k=0时，$\frac{1}{6}$≤ω≤$\frac{8}{15}$，不符合题意；当k=1时，$\frac{7}{6}$≤ω≤$\frac{4}{3}$；当k=2时，$\frac{13}{6}$≤ω≤$\frac{32}{15}$，不符合题意．
综上可得，$\frac{7}{6}$≤ω≤$\frac{4}{3}$，
故答案为：[$\frac{7}{6}$，$\frac{4}{3}$]．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，求出函数的单调递减区间是解决本题的关键，综合性较强，属于中档题．