分析 (1)将点A代入椭圆方程,e=$\frac{c}{a}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,联立求得a和b的值,求得椭圆方程;
(2)根据对称性求得B点坐标,$\overrightarrow{AP}={λ_1}\overrightarrow{PC}$,$\overrightarrow{BP}={λ_2}\overrightarrow{PD}$,求得x1和y1,代入椭圆方程,求得$({λ_1}+1)•18{t^2}={λ_1}-1$,同理求得(λ2+1)•18t2=λ2-1,两式相减求得λ1=λ2,因此可证明CD∥AB.
解答 解:(1)将点A代入椭圆方程得:$\frac{{{{({\frac{1}{3}})}^2}}}{a^2}+\frac{{{{({\frac{2}{3}})}^2}}}{b^2}=1$,且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$,
解得:a2=1,${b^2}=\frac{1}{2}$,
所以,椭圆E的方程为:x2+2y2=1.
(2)∵$A(\frac{1}{3},\;\frac{2}{3})$,
∴$B(-\frac{1}{3},\;-\frac{2}{3})$.
设C(x1,y1),D(x2,y2),$\overrightarrow{AP}={λ_1}\overrightarrow{PC}$,$\overrightarrow{BP}={λ_2}\overrightarrow{PD}$,其中:λ1,λ2∈(0,1),
则$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=\frac{{({λ_1}+1)(-4t)-\frac{1}{3}}}{λ_1}\\{y_1}=\frac{{({λ_1}+1)t-\frac{2}{3}}}{λ_1}\end{array}\right.$,代入椭圆方程并整理得,$({λ_1}+1)•18{t^2}={λ_1}-1$,
同理得,(λ2+1)•18t2=λ2-1,
两式相减得:(λ1-λ2)•(18t2-1)=0.
∵点P(-4t,t)在椭圆E内部,
∴18t2<1,
∴λ1=λ2,
∴CD∥AB.
点评 本题考查求椭圆的方程,利用向量共线定理证明两直线平行,点的对称性,考查综合分析问题及解决问题的能力,属于中档题.
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A. | $\frac{80}{3}$ | B. | 80 | C. | 48 | D. | $\frac{176}{3}$ |
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A. | 0或1 | B. | 1或2 | C. | 0或2 | D. | 1或3 |
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