Question

       已知圆O：x²＋y²＝1，圆C：（x－4）²＋（y－4）²＝1，由两圆外一点P（a,b）引两圆切线PA、PB，切点分别为A、B，如图，满足|PA|＝|PB|；

       （Ⅰ）将两圆方程相减可得一直线方程l：x＋y－4=0，该直线叫做这两圆的“根轴”，试证点P落在根轴上；

       （Ⅱ）求切线长|PA|的最小值；

（Ⅲ）给出定点M（0,2），设P、Q分别为直线l和圆O上动点，求|MP|＋|PQ|的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

⑴

       即点P（a,b）落在根轴l：x＋y－4=0上；    ……………………  3分

    ⑵

    ∴当a=2时即P为（2,2）点时有    …………………  6分

⑶ 作M（0,2）关于直线L: x＋y=4的对称点N,求得N（2,4），连接NO则NO分别与直线L、圆O的交点即为使|PM|＋|PQ|的值最小的点P、Q； …………………  8分

       证明如下：

       在L上任取不同于点P的P₁点，

       连接P₁O交圆O于Q₁，则

       |P₁M|＋|P₁Q₁|=|P₁M|＋|P₁O|-1=|P₁N|＋|P₁O|-1＞|NO|-1

       而|PM|＋|PQ|=|PM|＋|PO|-1=|PN|＋|PO|-1=|NO|-1 ,

       故得证；  …………… 11分

       下求|PM|＋|PQ|的最小值及点P的坐标：

       （|PM|＋|PQ|）_Min=|NO|-1=

       联立ON与直线L的方程可得 …… 13分