Question

已知函数y=f（x），若存在x₀，使得f（x₀）=x₀，则称x₀是函数y=f（x）的一个不动点，设二次函数f（x）=ax²+（b+1）x+b-2
（Ⅰ）当a=2，b=1时，求函数f（x）的不动点；
（Ⅱ）若对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若函数y=f（x）的图象上A，B两点的横坐标是函数f（x）的不动点，且直线y=kx+

1

a2+1

是线段AB的垂直平分线，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把a=2，b=1代入方程f（x）=x，解出x即可；
（Ⅱ）方程f（x）=x恒有两个不相等的实数根，即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有两个不相等的实数根，则 △x=b2-4a(b-2)＞0对任意b恒成立，根据二次函数的性质可得a的不等式；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个不同的不动点为x₁，x₂，则A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的两个不等实根，则x1+x2=-

b

a

，由题意可得k=-1，且AB中点（-

b

2a

，-

b

2a

）在直线y=kx+

1

a2+1

上，代入可得a，b的关系式，分离出b后根据a的范围可得b的范围；

解答：解：（Ⅰ） 当a=2，b=1时，f（x）=2x²+2x-1，解2x²+2x-1=x，
解得x=-1，x=

1

2

，
所以函数f（x）的不动点为x=-1，x=

1

2

；
（Ⅱ）因为对于任意实数b，函数f（x）恒有两个不同的不动点，
所以对于任意实数b，方程f（x）=x恒有两个不相等的实数根，
即方程ax²+（b+1）x+b-2=x恒有两个不相等的实数根，
所以 △x=b2-4a(b-2)＞0，即对于任意实数b，b²-4ab+8a＞0，
所以  △b=(-4a)2-4×8a＜0，
解得0＜a＜2；
（Ⅲ）设函数f（x）的两个不同的不动点为x₁，x₂，则A（x₁，x₁），B（x₂，x₂），
且x₁，x₂是ax²+bx+b-2=0的两个不等实根，所以x1+x2=-

b

a

，
直线AB的斜率为1，线段AB中点坐标为(-

b

2a

，-

b

2a

)，
因为直线y=kx+

1

a2+1

是线段AB的垂直平分线，
所以k=-1，且（-

b

2a

，-

b

2a

）在直线y=kx+

1

a2+1

上，
则-

b

2a

=

b

2a

+

1

a2+1

，a∈（0，2），
所以b=-

a

a2+1

=-

1

a+ 1 a

≥-

1

2 a• 1 a

=-

1

2

，
当且仅当a=1∈（0，2）时等号成立，
又b＜0，
所以实数b的取值范围是[-

1

2

，0）．

点评：本题考查函数恒成立问题、直线的垂直关系直线方程，考查转化思想，本题的关键是准确理解不动点的定义．