Question

3．已知集合A={x|x²-2x+2a-a²≤0}，B={x|sin（πx-$\frac{π}{3}}$）+$\sqrt{3}$cos（πx-$\frac{π}{3}}$）=0}．
（1）若2∈A，求a的取值范围；
（2）若A∩B恰有3个元素，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据2∈A，代入A中不等式求出a的取值范围；
（2）利用因式分解法确定集合A的两个端点，由两角和的正弦公式、正弦函数的性质化简B，根据条件对a分类讨论，分别由条件列出关于a的不等式，求出解集即可．

解答 解：（1）∵集合A={x|x²-2x+2a-a²≤0}，且2∈A，
∴4-4+2a-a²≤0，化简得，a²-2a≥0，
解得a≤0或a≥2，
∴a的取值范围是{a|a≤0或a≥2}；
（2）∵A={x|x²-2x+2a-a²≤0}={x|（x-a）[x-（2-a）]≤0}，
∴其方程两根为a和2-a，A的两个端点是a与2-a；
∵$B=\left\{{x\left|{sin（{πx-\frac{π}{3}}）+\sqrt{3}cos（{πx-\frac{π}{3}}）=0}\right.}\right\}$
={x|2sin（πx-$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{3}$）=0}={x|sinπx=0}={x|x∈Z}，
由题意得，A∩B恰有3个元素，
①、当a不是整数时，有3≤|a-（2-a）|＜4，
即$\left\{\begin{array}{l}{|a-1|＜2}\\{|a-1|≥\frac{3}{2}}\end{array}\right.$，解得-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$≤a＜3，
则-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$≤a＜3=2；
②、当a是整数时，2-a也是整数，
则|a-（2-a）|=2，解得a=0或2，
综上，a的取值范围是{a|-1＜a≤-$\frac{1}{2}$或$\frac{5}{2}$≤a＜3或a=0或a=2}．

点评 本题考查了集合的概念与运算，两角和的正弦公式、正弦函数的性质，以及不等式解法的应用，考查分类讨论思想，化简、变形能力，属于中档题．