Question

（2011•大连二模）选修4-1：几何证明选讲
如图，PA切⊙O于点A，D为线段PA的中点，过点D引割线交⊙O于B，C两点．
求证：∠DPB=∠DCP．

Answer 1

分析：先根据PA与圆相切于A，得到DA²=DB•DC；再结合DP=DA，得到DP²=DB•DC；最后根据∠BDP=∠PDC，可得△BDP∽△PDC进而得到结论．

解答：证明：因为PA与圆相切于A，所以DA²=DB•DC，（3分）
因为D为PA中点，所以DP=DA，
所以DP²=DB•DC，即

PD

DC

=

DB

PD

．（6分）
因为∠BDP=∠PDC，所以△BDP∽△PDC，（9分）
所以∠DPB=∠DCP．（10分）

点评：本题主要考查与圆有关的比例线段、相似三角形的判定及切线性质的应用．属于基础题．其中判断出△BDP∽△PDC是解答本题的关键．