Question

20．已知0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，tan$β=\frac{4}{3}$，则tanα=$\frac{7}{24}$．

Answer 1

分析 由条件利用同角三角函数的基本关系求得tan（α-β）的值，再利用两角和差的正切公式求得tanα的值．

解答 解：∵0＜α＜β＜$\frac{π}{2}$，且cosαcosβ+sinαsinβ=$\frac{4}{5}$，∴cos（α-β）=$\frac{4}{5}$，α-β∈（-$\frac{π}{2}$，0），
∴sin（α-β）=-$\frac{3}{5}$，∴tan（α-β）=$\frac{sin（α-β）}{cos（α-β）}$=-$\frac{3}{4}$，即 $\frac{tanα-tanβ}{1+tanαtanβ}$=$\frac{tanα-\frac{4}{3}}{1+tanα×\frac{4}{3}}$=-$\frac{3}{4}$，
求得tanα=$\frac{7}{24}$．
故答案为：$\frac{7}{24}$．

点评 本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的正切公式，属于基础题．