Question

19． 已知直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，E是线段CC₁的中点，连接AE，B₁E，AB₁，B₁C，BC₁，得到的图形如图所示．
（I）证明BC₁⊥平面AB₁C；
（II）求二面角E-AB₁-C的大小．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推导出AC⊥BC，以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC₁⊥平面AB₁C．
（Ⅱ）求出平面AB₁C的法向量，和平面AB₁E的法向量，利用向量法能求出二面角E-AB₁-C的大小．

解答 证明：（Ⅰ）∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，
∴AC²+BC²=AB²，∴AC⊥BC，
以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设AC=BC=CC₁=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB=1，
则B（0，1，0），C₁（0，0，1），A（1，0，0），B₁（0，1，1），C（0，0，0），
$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，1），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-1，1，1），$\overrightarrow{AC}$=（-1，0，0），$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$•$\overrightarrow{AC}$=0，$\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}$=0-1+1=0，
∴BC₁⊥AC，BC₁⊥AB₁，
∵AC∩AB₁=A，∴BC₁⊥平面AB₁C．
解：（Ⅱ）∵BC₁⊥平面AB₁C，∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，1）是平面AB₁C的法向量，
E（0，$\frac{1}{2}$，0），$\overrightarrow{AE}$=（-1，0，$\frac{1}{2}$），
设平面AB₁E的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{B}_{1}}=-x+y+z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-x+\frac{1}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
设二面角E-AB₁-C的大小为θ，
则cosθ=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{B{C}_{1}}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}•\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=30°．
∴二面角E-AB₁-C的大小为30°．

点评 本题考查线面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．