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    如图，P1（x1，y1）、P2（x2，y2）、…、Pn（xn，yn）（0＜y1＜y2＜…＜yn） 是曲线C：y2=3x（y≥0）上的n个点，点Ai（ai，0）（i=1，2，3，…n）在x轴的正半轴上，且△Ai-1AiPi是正三角形（A0是坐标原点）．
    （1）求a1、a2、a3的值；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an和点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1的关系式；
    （3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，并用数学归纳法证明．
    分析：（1）利用已知条件直接求a1、a2、a3的值；
    （2）与（1）类似求出直线的方程，通过求出点An（an，0）（n∈N+）的横坐标an与点An-1（an-1，0）（n＞0，n∈N+）横坐标an-1即可得到(an-an-1)2=2(an-1+an)；
    （3）根据（1）的结论猜想an关于n的表达式，直接利用数学归纳法证明步骤证明即可．
    解答：解：（1）依题意，OP1直线方程为y=
    		3
    x与曲线方程y2=3x联立
    解得P1点的横坐标为x1=1，由中点坐标公式得a1=2            …（2分）
    同理：A1P2直线方程为y=
    		3
    （x-2）代入y2=3x求得x2=4    …（3分）
    再由中点坐标公式得a2=6，
    A2P2直线方程为y=
    		3
    （x-6）代入y2=3x求得x3=9
    再由中点坐标公式得a3=12，…（4分）
    （2）依题意，得xn=
    an-1+an
    2
        ①…（5分）
    直线An-1Pn的方程为y=
    		3
    （x-an-1）
    Pn（xn，yn）坐标满足方程，则有yn=
    		3
    （xn-an-1）②…（6分）
    把①代入②式得 yn=
    		3
    （
    an-1+an
    2
    -an-1）=
    		3
    •
    an-an-1
    2
    ③（7分）
    因为yn2=3xn    ④…（8分）
    把③式代入④得
    (
    		3
    •
    an-an-1
    2
    )    2    =
    3
    2
    (an+an-1)    ，
    即(an-an-1)2=2(an-1+an)…（9分）
    （3）由（Ⅰ）可猜想：an=n（n+1），n∈N+）．  （10分）
    下面用数学归纳法予以证明：
    （1）当n=1时，命题显然成立；
    （2）假定当n=k时命题成立，即有ak=k（k+1），…（11分）
    则当n=k+1时，由归纳假设及
    (ak+1-ak)2=2(ak+ak+1)得[ak+1-k(k+1)]2=2[k(k+1)]+ak+1，即
    （ak+1）2-2（k2+k+1）ak+1+[k（k+1）]•[（k+1）（k+2）]=0，
    解之得：ak+1=（k+1）（k+2），（ak+1=k（k-1），不合题意，舍去），
    即当n=k+1时，命题成立．                 …（13分）
    由（1）、（2）知：命题成立．            …（14分）
    点评：本题考查数列与解析几何相结合的问题，直线与抛物线的位置关系，数列的函数的特征，数学归纳法的应用，考查逻辑推理能力以及计算能力．
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    （1）写出a1，a2，a3；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式；并用数学归纳法证明．

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    ；猜想an关于n的表达式为
     
    ．

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    （1）写出a1，a2，a3；
    （2）求出点An（an，0）（n∈N*）的横坐标an关于n的表达式；
    （3）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，若对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式t2-2mt+
    1
    6
    ＞bn    恒成立，求实数t的取值范围．

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    （2012•闸北区二模）如图，P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），…是曲线C：y2=
    1
    2
    x(y≥0)    上的点，A1（a1，0），A2（a2，0），…，An（an，0），…是x轴正半轴上的点，且△A0A1P1，△A1A2P2，…，△An-1AnPn，…均为斜边在x轴上的等腰直角三角形（A0为坐标原点）．
    （1）写出an-1、an和xn之间的等量关系，以及an-1、an和yn之间的等量关系；
    （2）猜测并证明数列{an}的通项公式；
    （3）设bn=
    1
    an+1
    +
    1
    an+2
    +
    1
    an+3
    +…+
    1
    a2n
    ，集合B={b1，b2，b3，…，bn，…}，A={x|x2-2ax+a2-1＜0，x∈R}，若A∩B=∅，求实常数a的取值范围．

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