Question

已知等差数列{a_n}的公差d≠0，它的前n项和为S_n，若S₅=70，且a₂，a₇，a₂₂成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n．

Answer 1

分析：（1）依题意，列出关于等差数列{a_n}的首项与公差的方程组，解之即可求得数列{a_n}的通项公式；
（2）由（1）可得S_n=2n²+4n，利用裂项法可求得

1

Sn

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

），从而可求得数列{

1

Sn

}的前n项和为T_n．

解答：解：（1）∵数列{a_n}是等差数列且s₅=70，
∴5a₁+10d=70．①
∵a₂，a₇，a₂₂成等比数列，
∴a72=a₂•a₂₂，即(a1+6d)2=（a₁+d）（a₁+21d）．②
由①，②解得a₁=6，d=4或a₁=14，d=0（舍去）．
∴a_n=4n+2．
（2）证明；由（1）得S_n=2n²+4n，
∴

1

Sn

=

1

2n2+4n

=

1

4

（

1

n

-

1

n+2

）．
∴T_n=

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

+…+

1

Sn-1

+

1

Sn

=

1

4

[（1-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n-1

-

1

n+1

）+（

1

n

-

1

n+2

）]
=

3

8

-

1

4

（

1

n+1

+

1

n+2

）．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，突出裂项法求和的考查，属于中档题．