Question

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）≤x}，
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若M+m≠8a+2c，求证：|

b

a

|＜4；
（3）若A=2，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），M-m的最小值记为g（n），估算使g（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接写出你的结果，不必详细说理）

Answer 1

分析：（1）由A=[1，2]，得到不等式f（x）≤x的解集为[1，2]，把f（x）的解析式代入不等式化简后，得到一个关于x的不等式小于等于0，则不等式左边等于0时，方程的两个根为1和2，根据韦达定理即可求出a与b的值，又因为f（0）=2，代入即可求出c的值，即可确定出f（x）的解析式，根据二次函数的对称轴与区间的关系，由二次函数的图象与性质得到最大值为f（-2），最小值为f（1），即可求出M与m的值；
（2）利用反证法证明，先假设所证的式子大于等于4，得到f（x）的对称轴不属于（-2，2），所以得到f（x）在（-2，2）单调，即可求出M+m的值为f（-2）+f（2），且等于8a+2c，与已知的M+m≠8a+2c矛盾，所以假设错误，原命题正确，得证；
（3）由A=2，得到ax²+（b-1）x+2=0有两个等根，求出两个等根，利用韦达定理由a表示出b和c，代入对称轴即可求出对称轴的范围，得到对称轴在区间（0，2），根据二次函数的图象与性质即可表示出最大值M和最小值m，利用M-m即可得到g（n）的解析式，根据n为正整数即可估算出此时n的值．

解答：解：（1）∵A=[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，
∴方程ax²+（b-1）x+2=0的两个根x₁=1，x₂=2，
由韦达定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
则f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；
（2）若|

b

a

|≥4，则函数y=f（x）的对称轴x=-

b

2a

∉(-2，2)，
∴f（x）在[-2，2]上单调，
∴M+m=f（-2）+f（2）=8a+2c，与已知矛盾，
∴|

b

a

|＜4；
（3）∵A=2，∴ax²+（b-1）x+2=0有两个等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，其对称轴x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈(0，2)，(a≥2n)，∴M=f(-2)=16a-2，m=

8a-1

4a

，M-m=16a+

1

4a

-4，g(n)=2n+4+

1

2n+2

-4
满足条件的n取值为6、7、8、9．

点评：此题考查学生灵活运用韦达定理解决数学问题的能力，要求学生掌握二次函数的图象与性质及会利用反证法进行证明命题为真命题，是一道综合题．