Question

已知一隧道的截面是一个半椭圆面（如图所示），要保证车辆正常通行，车顶离隧道顶部至少要有0.5米的距离，现有一货车，车宽4米，车高2.5米。
（1）若此隧道为单向通行，经测量隧道的跨度是10米，则应如何设计隧道才能保证此货车正常通行？（2）圆可以看作是长轴短轴相等的特殊椭圆，类比圆面积公式，请你推测椭圆（a>b>0）的面积公式，并问，当隧道为双向通行（车道间的距离忽略不记）时，要使此货车安全通过，应如何设计隧道，才会使同等隧道长度下开凿的土方量最小？

Answer 1

解：以长轴所在直线为x轴，如图建立平面直角坐标系，并设截口曲线所在椭圆的方程为；
（1）由题知，，且椭圆过点（2，3），得，
故隧道顶部离地面至少米；
（2）猜测椭圆面积公式为，
椭圆过点（4，3），即，
当时取等号，此时，所以设计时在同等长度下会使开挖土方最少。