Question

已知函数f(x)=

-x3+x2+bx+c，x＜1 -x2+ax+3 ，&x≥1

的图象经过原点，且在x=-1处的切线斜率为-5．
（Ⅰ）求b，c的值；
（Ⅱ）求函数在区间[-1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为函数f（x）的图象过原点，所以f（0）=0即c=0，利用导数的几何意义，根据斜率即可求出bc的值
（Ⅱ）求出函数的导数，根据导数求出函数的极值，再根据端点求出函数的端点值，比较即可得出函数的最值．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）的图象过原点，
∴f（0）=0即c=0，
∵函数f（x）在x=-1处的切线斜率为-5即f'（-1）=-5，
∴b=0．
（Ⅱ）x∈[-1，1）时，f（x）=-x³+x²，f'（x）=-3x²+2x，
令f'（x）=0，则x=0，

2

3

，f（-1）=2，f（0）=0，f(

2

3

)=

4

27

，f（1）=0，
∴f_max（x）=2；x∈[1，2]时，f(x)=-x2+ax+3=-(x-

a

2

)2+

a2

4

+3，
当

a

2

≤1即a≤2时，f_max（x）=a+2，
当1＜

a

2

＜2即2＜a＜4时，fmax(x)=

a2

4

+3，
当

a

2

≥2即a≥4时，f_max（x）=2a-1；
当a≤2时，
若a+2≥2即a≥0时，f_max（x）=a+2，
若a+2＜2即a＜0时，f_max（x）=2，
综上，函数f（x）在区间[-1，2]上的最大值为fmax(x)=

2，a＜0 a+2 ，&2≥a≥0 a2 4 +3，2＜a＜4 2a-1 ，&a≥4

点评：会求函数的导数，利用导数的几何意义，在要讨论a的取值范围，最后不要忘了综上所述．