Question

【题目】已知抛物线G：y2=2px（p＞0），过焦点F的动直线l与抛物线交于A，B两点，线段AB的中点为M．
（Ⅰ）当直线l的倾斜角为 时，|AB|=16．求抛物线G的方程；
（Ⅱ）对于（Ⅰ）问中的抛物线G，是否存在x轴上一定点N，使得|AB|﹣2|MN|为定值，若存在求出点N的坐标及定值，若不存在说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意知
设直线l的方程为 ，
由 得：y2﹣2pty﹣p2=0△=4p2t2+4p2＞0，
…

当直线l倾斜角为 时，t=1，|AB|=4p=16，得p=4，
所以抛物线G的方程为y2=8x．
（Ⅱ）假设在x轴上存在点N（a，0）使得|AB|﹣2|MN|为定值．
由（Ⅰ）知|AB|=8（t2+1）
，yM=4t，
即M（4t2+2，4t）
若满足题意 ，
即 解得a=3，k=1，
此时|AB|﹣2|MN|=6
综上在x轴上存在点N（3，0）使得|AB|﹣2|MN|为定值6
注：其它做法酌情给分
【解析】（Ⅰ）设直线l的方程为 ， ，联立 ，利用韦达定理以及弦长公式求解抛物线G的方程．（2）假设在x轴上存在点N（a，0）使得|AB|﹣2|MN|为定值．由（Ⅰ）知|AB|=8（t2+1）求出M的坐标，求出|MN|的表达式，然后转化求解在x轴上存在点N（3，0）使得|AB|﹣2|MN|为定值6．