Question

已知函数的最大值为2，x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，且|x₁-x₂|的最小值为．
（I）求a，ω的值；
（II）若f（a）=，求的值．

Answer 1

解：（I）∵函数 =asin2ωx+cos2ωx=asin（2ωx+）．
由题意可得，函数的最小正周期为=π，∴ω=1．
再由a＞0且函数的最大值为2可得 a=1，故 f（x）=2sin（2x+）．
（II）若f（a）=，则2sin（2α+）=，sin（2α+）=，
∴=sin[-（4α+）]=-cos（4α+）=-1+2=-1+2×=-．
分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简函数的解析式为f（x）=asin（2ωx+），由题意可得函数的最小正周期为=π，求出ω=1，再由函数的最大值求出a的值．
（II）由f（a）=求得sin（2α+）=，根据 =sin[-（4α+）]=-cos（4α+），再利用二倍角公式求出结果．
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求函数的解析式，二倍角的余弦公式的应用，属于中档题．