Question

已知平面上两定点M（0，-2）、N（0，2），P为一动点，满足-=||-||．
（I）求动点P的轨迹C的方程；
（II）若A、B是轨迹C上的两不同动点，且=λ．分别以A、B为切点作轨迹C的切
线，设其交点Q，证明-为定值．

Answer 1

【答案】分析：（I）先设P（x，y），欲动点P的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系，结合向量的坐标运算即可得到．
（II）先设出A，B两点的坐标，利用向量关系及向量运算法则，用A，B的坐标表示出-，最后看其是不是定值即可．
解答：解：（I）设P（x，y）．
由已知 =（x，y+2），=（0，4），=（-x，2-y），
•=4y+8．
||•||=4x²+（y-2）²（3分）
∵•=||•||
∴4y+8=4x²+（y-2）²整理，得x²=8y
即动点P的轨迹C为抛物线，其方程为x²=8y．（6分）
（II）由已知N（0，2）．
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2）

-x1=λx2 2-y1=λ（y2-2）

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．由=λ
即得（-x₁，2-y₁）=λ（x₂，y₂-2），
∴-x₁=λx₂…（1），
2-y₁=λ（y₂-2）…（2）
将（1）式两边平方并把x₁²=8y₁，x₂²=8y₂代入得y₁=λy₂（3分）
解得 y₁=2λ，y₂=，
且有x₁x₂=-λx₂²=-8λy₂=-16．（8分）
抛物线方程为 y=18x₂，求导得y′=x．
所以过抛物线上A、B两点的切线方程分别是 y=x₁（x-x₁）+y₁，y=x²（x-x₂）+y₂，
即y=x₁x-x₁²，y=x₂x-x₂²
解出两条切线的交点Q的坐标为 （，）=（，-2）（11分）
所以 •=（，-4）•（x₂-x₁，y₁-y₂）
=（x₂²-x₁²）-4（x₂²-x₁²）=0
所以 •为定值，其值为0．（13分）
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题   求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．