Question

已知锐角在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足

a+b

cosA+cosB

=

c

cosC

（1）求证：角A，C，B成等差数列；
（2）若△ABC的面积S_△ABC=

3

，求△ABC周长的最小值．

Answer 1

考点：正弦定理,余弦定理

专题：计算题,解三角形

分析：（1）根据题意，由正弦定理得sin（A-C）=sin（C-B）又A、B、C∈（0，

π

2

），即有-

π

2

＜A-C＜

π

2

，-

π

2

＜C-B＜

π

2

，而y=sinx在（-

π

2

，

π

2

）内单调递增可得A-C=C-B，故可证．
（2）由A+B+C=π及2C=A+B得C=

π

3

，由S_△ABC=

1

2

absinC=

3

⇒ab=4，由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，故a+b+c=a+b+

a2+b2-ab

≥2

ab

+

2ab-ab

=3

ab

=6，当且仅当a=b时，取等号，从而求解．

解答： 解：（1）根据题意，在△ABC中，由正弦定理得：

sinA+sinB

cosA+cosB

=

sinC

cosC

，即有sinAcosC+sinBcosC=sinCcosA+sinCcosB，
∴sin（A-C）=sin（C-B），
又A、B、C∈（0，

π

2

），∴-

π

2

＜A-C＜

π

2

，-

π

2

＜C-B＜

π

2

而y=sinx在（-

π

2

，

π

2

）内单调递增
∴A-C=C-B
即有2C=A+B，角A，B，C成等差数列．
（2）由A+B+C=π及2C=A+B得C=

π

3

，
S_△ABC=

1

2

absinC=

3

⇒ab=4，
又c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
∴a+b+c=a+b+

a2+b2-ab

≥2

ab

+

2ab-ab

=3

ab

=6
当且仅当a=b时，取等号
∴△ABC周长的最小值是6．

点评：本题主要考察了余弦定理和正弦定理的综合应用，不等式的解法，属于中档题．