已知抛物线x2=2py的焦点为F.过焦点F的直线交抛物线于A.B两点.分别过A.B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A1.B1两点.Q是A1B1的中点.连AQ.BQ.FA1.有下列命题:①△AA1F的垂心有可能在此抛物线,②△AQB的外心有可能在此抛物线上,③AQ.FA1.x轴相交于一点,④过A.B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上上述命题正确的有①③④� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（2010•吉安二模）已知抛物线x²=2py（p＞0）的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线依次交抛物线的准线于A₁，B₁两点，Q是A₁B₁的中点，连AQ、BQ、FA₁，有下列命题：
①△AA₁F的垂心有可能在此抛物线；
②△AQB的外心有可能在此抛物线上；
③AQ、FA₁、x轴相交于一点；
④过A、B两点的抛物线的两条切线的交点在此抛物线的准线上
上述命题正确的有

①③④

（写出所有真命题的序号）

分析：①只需要说明AF⊥AA₁即可；②由于易得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；③④取特殊位置AB∥x轴，可知结论正确．

解答：解：取特殊位置AB∥x轴①则 A1(-p，-

)，F(0，

)，B1(p，-

)，故有AF⊥AA₁，所以点A是△AA₁F的垂心；
②A (-p，

)，Q(0，-

)，B(p，

)得AQ⊥QB，故△AQB的外心是线段AB的中点；
③由于此时AFQA₁是矩形，故正确；
④FQ=BB₁=AA₁=p，显然FQ²=BB₁•AA₁
故答案为：①③④．

点评：本题取特殊位置，简化了解题，是解决填空题的很好的策略．

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