Question

【题目】已知函数f(x)＝m－|x－1|－|x－2|，m∈R，且f(x＋1)≥0的解集为[0，1]．

(1)求m的值；

(2)若a，b，c，x，y，z∈R，且x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m，求证：ax＋by＋cz≤1.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】(1)由f(x＋1)≥0得|x|＋|x－1|≤m.

∵|x|＋|x－1|≥1恒成立，

∴若m<1，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为，不合题意．

若m≥1，①当x<0时，得x≥，则≤x<0；

②当0≤x≤1时，得x＋1－x≤m，即m≥1恒成立；

③当x>1时，得x≤，则1<x≤.

综上可知，不等式|x|＋|x－1|≤m的解集为.

由题意知，原不等式的解集为[0，1]，

∴ 解得m＝1.

(2)证明：∵x2＋a2≥2ax，y2＋b2≥2by，z2＋c2≥2cz，

三式相加，得x2＋y2＋z2＋a2＋b2＋c2≥2ax＋2by＋2cz.

由题设及(1)，知x2＋y2＋z2＝a2＋b2＋c2＝m＝1，

∴2≥2(ax＋by＋cz)，即ax＋by＋cz≤1，得证．