Question

4．已知函数f（x）=ax²+bx．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，函数f（x）在x=1处取得极值，求函数f（x）的递减区间；
（Ⅱ）若a=1，且函数f（x）在[-1，1]上是减函数，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先对函数f（x）进行求导，根据 f'（1）=0，f'（3）=24确定函数的解析式，然后令f'（x）＜0求单调递减区间；
（Ⅱ）把a=1代入函数f（x）后对函数进行求导，由题意可得f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立，分离参数b得答案．

解答 解：（Ⅰ）已知函数f（x）=ax³+bx（x∈R），∴f′（x）=3ax²+b，
又函数f（x）图象在点x=3处的切线与直线24x-y+1=0平行，
且函数f（x）在x=1处取得极值，∴f′（3）=27a+b=24，
且f′（1）=3a+b=0，解得a=1，b=-3，
∴f（x）=x³-3x．
令f′（x）=3x²-3≤0，得-1≤x≤1，
∴函数的单调递减区间为[-1，1]
（Ⅱ）当a=1时，f（x）=x³+bx（x∈R），又函数f（x）在[-1，1]上是减函数，
∴f′（x）=3x²+b≤0在[-1，1]上恒成立．
即b≤-3x²在[-1，1]上恒成立，∴b≤-3．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数研究函数的单调性，属中档题．