Question

判断下列函数的奇偶性
（1）f（x）=a  （a∈R）
（2）f（x）=（1+x）³-3（1+x²）+2
（3）f（x）=

x(1-x)，x＜0 x(1+x)，x＞0

Answer 1

分析：（1）是一个常函数，其一般是偶函数，当a=0时，函数既是奇函数又是偶函数，a≠0时，一定是偶函数；可以用定义证明；
（2）对函数解析式进行化简，再研究f（x）与f（-x）的关系，证明f（x）+f（-x）=0即可得了其是奇函数；
（3）是一个分段函数，分段函数的奇偶性要分段来证，先研究x＜0时，f（x）与f（-x）的关系，再研究x＞0时，
f（x）与f（-x）的关系．探究知在每一段上都满足f（-x）=-f（x），故可得出其性质．

解答：解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（-x）=a，故是偶函数；
（2）f（x）=（1+x）³-3（1+x²）+2=x³+3x，由于f（x）+f（-x）=x³+3x+（-x）³+3（-x）=0，故f（x）=（1+x）³-3（1+x²）+2是奇函数．
（3）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=-x（1-x）=-f（x）；当x＞0时，-x＜0，f（-x）=-x（1+x）=-f（x）；由上证知，
在定义域上总有f（-x）=-f（x）；故函数f（x）=

x(1-x)，x＜0 x(1+x)，x＞0

是奇函数．

点评：本题考查用函数奇偶性的定义证明函数的奇偶性，属于基础定义的直接应用．