分析 (1)点P是双曲线右支上一点,按双曲线的定义,|PF1|-|PF2|=2a,设三角形PF1F2的内切圆心在横轴上的投影为A(x,0),B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点.由同一点向圆引得两条切线相等知|PF1|-|PF2|=(PB+BF1)-(PC+CF2),由此得到△PF1F2的内切圆的圆心横坐标.
(2)在三角形PCF2中,由题意得,它是一个等腰三角形,从而在三角形F1CF2中,利用中位线定理得出OM,从而解决问题.
解答 (1)证明:∵点P是双曲线右支上一点,
∴按双曲线的定义,|PF1|-|PF2|=2a,
设E(x,0),B、C分别为内切圆与PF1、PF2的切点.考虑到同一点向圆引得两条切线相等:
则有:PF1-PF2=(PB+BF1)-(PC+CF2)=BF1-CF2=EF1-F2E
=(c+x)-(c-x)=2x=2a
∴x=a
∴E(a,0).
∴E点是双曲线的右顶点;
(2)解:在三角形PCF2中,由题意得,它是一个等腰三角形,PC=PF2,
∴在三角形F1CF2中,有:
OM=$\frac{1}{2}$CF1=$\frac{1}{2}$(PF1-PC)=$\frac{1}{2}$(PF1-PF2)=$\frac{1}{2}$×2a=a.
∴点M的轨迹方程是x2+y2=a2.
点评 本题考查双曲线的定义、切线长定理.解答的关键是充分利用平面几何的性质,如三角形内心的性质等.
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A. | ①③ | B. | ①④ | C. | ②④ | D. | ③④ |
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A. | [$\frac{1}{e}$,+∞) | B. | ($\frac{1}{e}$,+∞) | C. | [e,+∞) | D. | (e,+∞) |
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A. | y=ln$\sqrt{1-{x}^{2}}$ | B. | y=3x | C. | y=x2-2x | D. | y=x3 |
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A. | 0 | B. | 1 | C. | 2 | D. | 3 |
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