Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F₁，F₂在x轴上，长轴A₁A₂的长为 ，左准线 l与x轴的交点为M，，P为椭圆C上的动点．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P与 A₁，A₂均不重合，设直线 PA₁与 PA₂的斜率分别为k₁，k₂，证明：k₁•k₂为定值；
（Ⅲ）M为过P且垂直于x轴的直线上的点，若，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题得，设所求椭圆方程为；
则有
所以椭圆方程为．
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），，，则，即，
则，，
即，
∴k₁•k₂为定值．
（Ⅲ）设M（x，y），其中．
由已知及点P在椭圆C上可得，
整理得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，其中．
①当时，化简得y²=6，
所以点M的轨迹方程为，轨迹是两条平行于x轴的线段；
②当时，方程变形为，其中．
当时，M的轨迹为中心在原点、实轴在y轴上的双曲线满足的部分；
当时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆满足的部分；
当λ≥1时，点M的轨迹为中心在原点、长轴在x轴上的椭圆．
分析：（Ⅰ）设椭圆方程为 ，半焦距为c，由题意能够导出a，b，c，写出椭圆方程即可；
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠0），分别求出k₁，k₂的表达式，再求得k₁•k₂为定值即可；
（Ⅲ）设M（x，y），先由已知及点P在椭圆C上可得（3λ²-1）x²+3λ²y²=6，下面对λ的值进行分类讨论：①当时，②当时，其中再分成三类：一类是：当时，另一类是：当时，最后一类是：当λ≥1时，分别说明轨迹是什么曲线即得．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于中档题．