Question

已知f(x)＝x²－2x－ln(x＋1)².
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若函数F(x)＝f(x)－x²＋3x＋a在上只有一个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）(－，－1)和(，＋∞)（2）－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1.

(1)f(x)的定义域为{x|x≠－1}．
∵f(x)＝x²－2x－ln(x＋1)²，∴f′(x)＝2x－2－＝，
解得－＜x＜－1或x＞，
∴f(x)的单调递增区间是(－，－1)和(，＋∞)．
(2)由已知得F(x)＝x－ln(x＋1)²＋a，且x≠－1，∴F′(x)＝1－＝.
∴当x＜－1或x＞1时，F′(x)＞0；当－1＜x＜1时，F′(x)＜0.
∴当－＜x＜1时，F′(x)＜0，此时，F(x)单调递减；
当1＜x＜2时，F′(x)＞0，此时，F(x)单调递增．
∵F＝－＋2ln 2＋a＞a，F(2)＝2－2ln 3＋a＜a，∴F＞F(2)．
∴F(x)在上只有一个零点?或F(1)＝0.
由得－2ln 2≤a＜2ln 3－2；
由F(1)＝0得a＝2ln 2－1.
∴实数a的取值范围为－2ln 2≤a＜2ln 3－2或a＝2ln 2－1.