Question

如图展示了一个由区间（0，1）到实数集R的映射过程：区间（0，1）中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为（0，1），如图3．图3中直线AM与x轴交于点N（n，0），则m的象就是n，记作f（m）=n．

下列说法中正确命题的序号是

 

．（填出所有正确命题的序号）
①f(

1

4

)=1；②f（x）在定义域上单调函数；③f（x）是奇函数；④f（x）的图象关于点(

1

2

，0)对称．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：当M为四分之一分点时，N点落在x轴的负半轴上，则f(

1

4

)＜0≠1，命题①错误；
当自变量x逐步增大时，N点沿x轴从x轴的负半轴逐步过渡到x轴的正半轴，即n逐步增大，则f（x）在定义域上单调递增；
自变量x的取值范围为（0，1），则f（x）不是奇函数；
由图3结合题意可得，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数判断④正确．

解答： 解：∵当m=

1

4

时，此时M恰好处在左半圆弧的中点上，此时直线AM的方程为y=x+1，取y=0，得x=-1，
即f（

1

4

）=-1，
∴①是错误命题；
②由图3可以看出，m由0增大到1时，M由A运动到B，此时N由x的负半轴向正半轴运动，由此知，N点的横坐标逐渐变大，故f（x）在定义域上单调递增是正确的，
∴②是正确命题；
③由函数是奇函数，其定义域必关于原点对称，而m∈（0，1），不是奇函数，
∴③是错误命题；
④由图3可以看出，当M点的位置离中间位置相等时，N点关于Y轴对称，即此时函数值互为相反数，故可知f（x）的图象关于点(

1

2

，0)对称，
∴④是正确命题．
综上知，②④是正确命题．
故答案为：②④．

点评：本题考查映射的概念，解答本题关键是理解题设中所给的对应关系，正确认识三个图象的意义，由此对四个命题的正误作出判断，本题题型新颖，寓数于形，是一个考查理解能力的题，本题由于理解不了题意而导致无法下手，较抽象，是难题．