Question

12．已知椭圆C的对称中心为原点O，焦点在x轴上，左右焦点分别为F₁和F₂，且|F₁F₂|=2，点（1，$\frac{3}{2}$）在该椭圆上
（1）求椭圆C的方程；
（2）过F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF₂B的面积为$\frac{12\sqrt{2}}{7}$，求以F₂为圆心且与直线l相切圆的方程．

Answer 1

分析 （1）因为|F₁F₂|=2，所以c=1．又点（1，$\frac{3}{2}$）在该椭圆上，所以根据椭圆的定义可求出a的值，从而求出b．（2）首先应考虑直线l⊥x轴的情况，此时A（-1，-$\frac{3}{2}$），B（-1，$\frac{3}{2}$），△AF₂B的面积为3，不符合题意．当直线l与x轴不垂直时，），s_△AF2B=$\frac{1}{2}•AB•r$．设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0，用弦长公式可得|AB|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，用点到直线的距离公式可得 圆F₂的半径r=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，这样根据题中所给面积可求出k的值，从而求出半径，进而得到圆的方程为．

解答 解：（1）因为|F₁F₂|=2，所以c=1．
又点（1，$\frac{3}{2}$）在该椭圆上，所以$2a=\sqrt{{{（1+1）}^2}+{{（\frac{3}{2}-0）}^2}}+\sqrt{{{（1-1）}^2}+{{（\frac{3}{2}-0）}^2}}=4$．
所以a=2，b²=3．
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）①当直线l⊥x轴时，可得A（-1，-$\frac{3}{2}$），B（-1，$\frac{3}{2}$），△AF₂B的面积为3，不符合题意
②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y=k（x+1）．代入椭圆方程得：（3+4k²）x²+8k²x+4k²-12=0
显然△＞0成立，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
x₁+x₂=-$\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{8{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$
可得|AB|=$\frac{12（{k}^{2}+1）}{3+4{k}^{2}}$，用点到直线的距离公式可得 圆F₂的半径r=$\frac{2|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴△AF₂B的面积=$\frac{1}{2}$|AB|r=$\frac{12\sqrt{{k}^{4}+{k}^{2}}}{3+4{k}^{2}}=\frac{12\sqrt{2}}{7}$，
化简得：17k⁴+k²-18=0，得k=±1，
∴r=$\sqrt{2}$，圆的方程为（x-1）²+y²=2．

点评 本题考查了直线与椭圆的位置关系，椭圆与圆，用弦长公式点到直线的距离公式、属于中档题．