Question

不等式组所表示的平面区域为D_n，若D_n内的整点（整点即横坐标和纵坐标均为整数的点）个数为a_n（n∈N^*）
（1）写出a_n+1与a_n的关系（只需给出结果，不需要过程），
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）设数列a_n的前n项和为S_n且，若对一切的正整数n，总有T_n≤m成立，求m的范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）不等式组所表示的平面区域D_n的整点个数归纳可得a_n+1-a_n=10；
（2）根据{a_n}是首项为15，公差为10的等差数列，从而求出数列{a_n}的通项公式；
（3）求出数列{a_n}的前n项和S_n，则=，然后T_n+1-T_n的符号可得T₂=2是最大值，从而求出m的取值范围．
解答：解：（1）不等式组（n∈N^*）所表示的平面区域D_n的整点个数
∴a_n+1-a_n=10即{a_n}为等差数列
（2）∵{a_n}是首项为15，公差为10的等差数列
∴a_n=15+（n-1）×10=10n+5
（3）S_n==5n²+10n
∴=
∴T_n+1-T_n=-=
当n≥2时，T_n+1-T_n＜0
即T_n≤T₂=2≤m
∴m的取值范围为m≥2．
点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列的求和，同时考查了数列的最值，属于中档题．