Question

2．如图，椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1（a＞2），圆O：x²+y²=a²+4，椭圆C的左、右焦点分别为F₁，F₂过椭圆上一点P和原点O作直线l交圆O于M，N两点，若|PF₁|•|PF₂|=6，则|PM|•|PN|的值为6．

Answer 1

分析 设出P的坐标，把P的纵坐标用横坐标表示，然后由焦半径公式及|PF₁|•|PF₂|=6，求得P的横纵坐标的平方和，由对称性得到|PM|•|PN|=a²+4-|OM|²=a²+4-x₀²-y₀²，代入横纵坐标的平方和后整理得答案．

解答 解：设P（x₀，y₀），
∵P在椭圆上，∴$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{{y}_{0}}^{2}}{4}$=1，则y₀²=4（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{{a}^{2}}$），
∵|PF₁|•|PF₂|=6，∴（a+ex₀）（a-ex₀）=6，e²=$\frac{{a}^{2}-4}{{a}^{2}}$，
即x₀²=$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-6）}{{a}^{2}-4}$，
由对称性得|PM|•|PN|=a²+4-|OP|²=a²+4-x₀²-y₀²
=a²+4-$\frac{{a}^{2}（{a}^{2}-6）}{{a}^{2}-4}$-4+$\frac{4（{a}^{2}-6）}{{a}^{2}-4}$=6．
故答案为：6．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了焦半径公式的应用，考查了计算能力，是中档题．