Question

已知幂函数y=f（x）的图象过点(

2

，

2

2

)．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．

Answer 1

分析：（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；
（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x₁＞x₂＞1，求出f（x₁）-f（x₂），通分后，根据设出的x₁＞x₂＞1，判定其差大于0，即f（x₁）＞f（x₂），从而得到函数为增函数．

解答：解：（1）由题意令y=f（x）=x^a，由于图象过点（

2

，

2

2

），
得

2

2

=

2

^a，a=-1
∴y=f（x）=x^-1
（2）g（x）=f（x）+x=x+

1

x

函数g(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x₁、x₂使得x₁＞x₂＞1，
都有 g(x1)-g(x2)=(x1+

1

x1

)-(x2+

1

x2

)=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

由x₁＞x₂＞1得，x₁-x₂＞0，x₁x₂＞0，x₁x₂-1＞0，
于是g（x₁）-g（x₂）＞0，即g（x₁）＞g（x₂），
所以，函数g(x)=x+

1

x

在区间（1，+∞）上是增函数．

点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．