Question

（2008•虹口区二模）已知一次函数f（x）=ax+b，二次函数g（x）=ax²+bx+c，a＞b＞c，且a+b+c=0
（1）证明：y=f（x）与y=g（x）图象有两个不同的交点A和B
（2）若A₁、B₁分别是点A、B在x轴上的射影，求线段A₁B₁长度的取值范围
（3）证明：当x≤-

3

时，恒有f（x）＜g（x）

Answer 1

分析：（1）若a＞b＞c，且a+c+b=0，可得a＞0＞c，令G（x）=f（x）-g（x）=0，判断判别式△=（b-a）²-4ac＞0即可．
（2））由设 A（x₁，0），B（x₂，0）根据方程根与系数的关系可得，AB=|x2-x1|=

(x2+x1)2-4x1x2

，结合a+b+c=0，a＞0＞c进行判断．
（3）要证当 x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立，即要证ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，构造函数h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，利用二次函数的知识即可证得结果．

解答：解：（1）证明：由

y=ax+b y=ax2+bx+c

得ax²+（b-a）x+c-b=0①
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b+a）²-4ac
∵a＞b＞c，a+b+c=0
∴a＞0，c＜0
∴△＞0
∴①有两个不等的根
∴函数y=f（x）与y=g（x）的图象有两个不同的交点A，B．
（2）∵a+b+c=0且a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．
由a＞b得a＞-（a+c），
∴

c

a

＞-2．
由b＞c得-（a+c）＞c，
∴

c

a

＜-

1

2

．
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

．
设A₁（x₁，0）B₁（x₂，0）
∴|A₁B₁|=|x2-x1|  =

(x2+x1)2-4x1x2

=

( a-b a )2-4 c-b a

=

( c a -2) 2-4

，
易得

9

4

＜|A₁B₁|²＜12
即

3

2

＜|A₁B₁|＜2

3

．
（3）令h（x）=ax²+（b-a）x+c-b，x≤-

3

，
对称轴为x=

a-b

a

=

2a+c

a

=2+

c

a

＞0，
∴h（x）在（-∞，-

3

）上单调递增，且h（ -

3

）=（2+

3

）（2a+c）=（2+

3

）a（2+

c

a

）＞0
∴h（x）=ax²+（b-a）x+c-b≥0恒成立，x≤-

3

，
即当 x≤-

3

时，f（x）＜g（x）恒成立．

点评：本题的考点是二次函数的性质，考查综合利用二次函数相关知识证明问题的能力，本题在解题中技巧性很强，如（1）中消去参数b利于确定判别式的范围，（2）中灵活运用a＞b＞c且a+b+c=0来确定

c

a

的范围，此类技巧的运用需要平时经验的积累，以及数学素养的提高，题后应对这些变形的技巧的变形过程及变形后达到目标进行细致的分析，力争能把握此类技巧的使用．考查函数与方程的转化，方程的根与系数的关系，函数的图象与x轴相交的线段的长度的求解，考查的知识点比较多，是一道综合性比较好的试题，体现了函数、方程、不等式的相互转化．