分析 由数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-1an=$\frac{{{n^2}+1}}{3}(n∈{N^*})$,得数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=$\frac{{(n-1)}^{2}+1}{3}$(n≥2),作差得an=$\frac{2n-1}{3×{2}^{n-1}}$,n≥2,当n=1时,${a}_{1}=\frac{2}{3}$.由此能求出结果.
解答 解:∵数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-1an=$\frac{{{n^2}+1}}{3}(n∈{N^*})$,①
∴数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=$\frac{{(n-1)}^{2}+1}{3}$(n≥2),②
①-②,得:2n-1an=$\frac{{n}^{2}+1}{3}-\frac{(n-1)^{2}+1}{3}$=$\frac{2n-1}{3}$,n≥2,
∴an=$\frac{2n-1}{3×{2}^{n-1}}$,n≥2,
当n=1时,${a}_{1}=\frac{2}{3}$.
∴an=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3},n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}},n≥2\end{array}\right.$.
故答案为:$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3},n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}},n≥2\end{array}\right.$.
点评 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
优秀 | 非优秀 | 合计 | |
甲班 | 10 | ||
乙班 | 30 | ||
合计 | 110 |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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A. | (0,0,-$\frac{1}{2}$) | B. | (0,0,-$\frac{2}{5}$) | C. | (0,0,$\frac{1}{2}$) | D. | (0,0,$\frac{2}{5}$) |
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