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3.若数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-1an=$\frac{{{n^2}+1}}{3}(n∈{N^*})$,则an=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3},n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}},n≥2\end{array}\right.$.

分析 由数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-1an=$\frac{{{n^2}+1}}{3}(n∈{N^*})$,得数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=$\frac{{(n-1)}^{2}+1}{3}$(n≥2),作差得an=$\frac{2n-1}{3×{2}^{n-1}}$,n≥2,当n=1时,${a}_{1}=\frac{2}{3}$.由此能求出结果.

解答 解:∵数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-1an=$\frac{{{n^2}+1}}{3}(n∈{N^*})$,①
∴数列{an}满足:a1+2a2+22a3+…+2n-2an-1=$\frac{{(n-1)}^{2}+1}{3}$(n≥2),②
①-②,得:2n-1an=$\frac{{n}^{2}+1}{3}-\frac{(n-1)^{2}+1}{3}$=$\frac{2n-1}{3}$,n≥2,
∴an=$\frac{2n-1}{3×{2}^{n-1}}$,n≥2,
当n=1时,${a}_{1}=\frac{2}{3}$.
∴an=$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3},n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}},n≥2\end{array}\right.$.
故答案为:$\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3},n=1\\ \frac{2n-1}{{3×{2^{n-1}}}},n≥2\end{array}\right.$.

点评 本题考查数列的通项公式的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意分类讨论思想的合理运用.

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优秀非优秀合计
甲班10
乙班30
合计110
(1)请完成右面的列联表,根据列联表的数据,能否有99%的把握认为成绩与班级有关系?(2)在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生,用ξ表示抽得甲班的学生人数,求ξ的分布列.
参考公式和数据:${K^2}=\frac{{n{{({ad-bc})}^2}}}{{({a+c})({b+d})({a+b})({c+d})}}$
P(K2≥k00.100.050.0250.0100.0050.001
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