Question

已知等差数列{a_n}满足a₂≤2，a₃≤4，a₁+a₄≥4，当a₄取得最大值时，数列{a_n}的公差为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：设数列{a_n}的公差为d，根据题意和等差数列的通项公式列出不等式组，设a₁=x，d=y转化线性规划问题，画出可行域和初始直线，再求出a₄最大值和对应的公差的值．

解答： 解：设数列{a_n}的公差为d，
因为a₂≤2，a₃≤4，a₁+a₄≥4，所以

a1+d≤2 a1+2d≤4 2a1+3d≥4

，①
设a₁=x，d=y，则①变为：

x+y≤2 x+2y≤4 2x+3y≥4

，且a₄=a₁+3d=x+3y
画出可行域如右图阴影部分所示：
当直线y=-

1

3

x+

1

3

a4经过点A时截距最大，即a₄最大，
由

x+2y=4 2x+3y=4

得，
x=-4，y=4，
此时a₄=-4+12=8，
此时a₁=-4，d=4，
所以数列{a_n}的公差为4，
故答案为：4．

点评：本题考查等差数列的通项公式，换元法的灵活应用，以及线性规划问题，考查转化能力，属于难题．